### Vector fields: Examples

Vector fields arise very naturally in physics and engineering applications from physical forces: gravitational, electrostatic, centrifugal, etc. For example, the vector field defined by the function
$\mathbf{F}(x,y,z)=-w_0\left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right),$
where $w_0$ is a real number, is associated with gravity and electrostatic attraction. The gravitational field around a planet and the electric field around a single point charge are similar to this field. The field points towards the origin (when $w_0>0$) and is inversely proportional to the square of the distance from the origin.

Simulation

Gravitational/Electrostatic field: Click on the image (or link below) to run the simulation.

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Another important example is the velocity vector field $\mathbf{v}$ of a steady-state fluid flow. The vector $\mathbf{v}(x, y)$ measures the instantaneous velocity of the fluid particles (molecules or atoms) as they pass through the point $(x, y)$. Steady-state means that the velocity at a point $(x, y)$ does not vary in time -even though the individual fluid particles are in motion. If a fluid particle moves along the curve $\mathbf{x}(t) = (x(t), y(t))$, then its velocity at time $t$ is the derivative
$\mathbf{v}= \frac{d\mathbf{x}}{dt}$
of its position with respect to $t$. Thus, for a time-independent velocity vector field
$\mathbf{v}(x, y) = ( v_1(x, y), v_2(x, y) )$
the fluid particles will move in accordance with an autonomous, first order system of ordinary differential equations
$\frac{dx}{dt}= v_1(x, y),\qquad \frac{dy}{dt}= v_2(x, y)$

According to the basic theory of systems of ordinary differential equations, an individual particle's motion $\mathbf{x}(t)$ will be uniquely determined solely by its initial position $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$. In fluid mechanics, the trajectories of particles are known as the streamlines of the flow. The velocity vector $\mathbf{v}$ is everywhere tangent to the streamlines. When the flow is steady, the streamlines do not change in time. Individual fluid particles experience the same motion as they successively pass through a given point in the domain occupied by the fluid.

Examples of velocity vector fields of steady-state fluids flow are the following:

1. Rigid body rotation: $$\mathbf{v}(x,y)=(-wy,wx),\quad w\in \mathbb R.$$
2. Stagnation point: $$\mathbf{v}(x,y)=(kx,-ky), \quad k\in \mathbb R.$$
3. Vortex: $$\mathbf{v}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right).$$
4. Source and Sink: $$\mathbf{v}(x,y)=\dfrac{q}{2\pi}\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2}\right),\quad q\in \mathbb R.$$

Simulation

The  following simulations show the steady-state fluid flows defined by the above velocity fields. Click on the image (or link below) to access the simulations.

### More

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

### El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro.

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

### Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…