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El Teorema de Pitágoras y sus diferentes demostraciones

Uno de los resultados matemáticos, o mejor dicho, uno de los Teoremas más conocidos en todo el mundo es el famoso Teorema de Pitágoras. Pero no sólo es el más conocido, también es uno de los teoremas que ha perdurado en la memoria colectiva por incontables generaciones. La mayoría de las personas lo conocen.

Una versión del teorema es la siguiente:

Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si bien, este teorema lleva el nombre de Pitágoras, no significa que él lo haya inventado, de hecho este resultado ya se conocía desde épocas más antiguas. 



En la antigüedad, los egipcios y los babilónicos lo utilizaban con fines prácticos. Más adelante, los griegos (del periodo clásico y helenístico) consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto en donde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción. La verdad de un hecho matemático debía establecerse, o comprobarse, no sólo  por medio de la observación precisa o por la evidencia empírica. Uno de los mayores exponentes del pensamiento matemático griego es Euclides con su libro Los Elementos.



Como es bien sabido, Euclides hace mención del Teorema de Pitágoras, aunque no lo llama así. En realidad, este teorema es considerado como una proposición por Euclides (de hecho es una implicación). 


Para ser más precisos es la Proposición 47 del Libro I:

Proposición 47 (Libro I): En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.


Menciono que lo anterior es una implicación porque se puede expresar de la siguiente forma:
Si A entonces B
Lo anterior también se puede escribir de forma simplificada como $p\rightarrow q$.

Es de esta forma como Euclides lo establece y es así como lo conoce la mayoría. Pero Euclides, en la siguiente proposición, establece y demuestra el converso de la Proposición  47, es decir, demuestra que: Si B entonces A (o también  $q\rightarrow p$). Para ser más precisos citaré la proposición de Euclides.

Proposición 48 (Libro I): Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, el ángulo comprendido por esos lados restantes del triángulo es recto.

Ambas proposiciones son demostradas por Euclides. Con el paso del tiempo y el desarrollo de las matemáticas, se han realizado otras demostraciones de diversos tipos que han hecho matemáticos en distintas épocas y en distintos contextos. En la siguiente página se pueden encontrar la increíble cantidad de 99 demostraciones recopiladas por el matemático estadounidense Alexander Bogomolny: 


Pero si desean ver más demostraciones del Teorema de Pitágoras, deberían entonces consultar el libro The Pythagorean Proposition: Its Demonstration Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of ‘Proofs’, escrito por  Elisha Scott Loomis y publicado en 1940 (Una traducción del título sería: “La Proposición Pitagórica: Su demostración analizada y clasificada con fuentes bibliográficas de cuatro diferentes tipos de prueba”).  Este libro contiene más de 300 demostraciones.   

El Teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes y conocidos de las matemáticas a nivel mundial. Ha perdurado varios siglos en la memoria colectiva de las personas y quizá siga siendo tan importante, como lo es ahora, en el futuro.


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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…