El Teorema de Pitágoras y sus diferentes demostraciones

Uno de los resultados matemáticos, o mejor dicho, uno de los Teoremas más conocidos en todo el mundo es el famoso Teorema de Pitágoras. Pero no sólo es el más conocido, también es uno de los teoremas que ha perdurado en la memoria colectiva por incontables generaciones. La mayoría de las personas lo conocen.

Una versión del teorema es la siguiente:

Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si bien, este teorema lleva el nombre de Pitágoras, no significa que él lo haya inventado, de hecho este resultado ya se conocía desde épocas más antiguas. 



En la antigüedad, los egipcios y los babilónicos lo utilizaban con fines prácticos. Más adelante, los griegos (del periodo clásico y helenístico) consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto en donde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción. La verdad de un hecho matemático debía establecerse, o comprobarse, no sólo  por medio de la observación precisa o por la evidencia empírica. Uno de los mayores exponentes del pensamiento matemático griego es Euclides con su libro Los Elementos.



Como es bien sabido, Euclides hace mención del Teorema de Pitágoras, aunque no lo llama así. En realidad, este teorema es considerado como una proposición por Euclides (de hecho es una implicación). 


Para ser más precisos es la Proposición 47 del Libro I:

Proposición 47 (Libro I): En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.


Menciono que lo anterior es una implicación porque se puede expresar de la siguiente forma:
Si A entonces B
Lo anterior también se puede escribir de forma simplificada como $p\rightarrow q$.

Es de esta forma como Euclides lo establece y es así como lo conoce la mayoría. Pero Euclides, en la siguiente proposición, establece y demuestra el converso de la Proposición  47, es decir, demuestra que: Si B entonces A (o también  $q\rightarrow p$). Para ser más precisos citaré la proposición de Euclides.

Proposición 48 (Libro I): Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, el ángulo comprendido por esos lados restantes del triángulo es recto.

Ambas proposiciones son demostradas por Euclides. Con el paso del tiempo y el desarrollo de las matemáticas, se han realizado otras demostraciones de diversos tipos que han hecho matemáticos en distintas épocas y en distintos contextos. En la siguiente página se pueden encontrar la increíble cantidad de 99 demostraciones recopiladas por el matemático estadounidense Alexander Bogomolny: 


Pero si desean ver más demostraciones del Teorema de Pitágoras, deberían entonces consultar el libro The Pythagorean Proposition: Its Demonstration Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of ‘Proofs’, escrito por  Elisha Scott Loomis y publicado en 1940 (Una traducción del título sería: “La Proposición Pitagórica: Su demostración analizada y clasificada con fuentes bibliográficas de cuatro diferentes tipos de prueba”).  Este libro contiene más de 300 demostraciones.   

El Teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes y conocidos de las matemáticas a nivel mundial. Ha perdurado varios siglos en la memoria colectiva de las personas y quizá siga siendo tan importante, como lo es ahora, en el futuro.


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