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Convergencia de Cuadrados

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $L$ mayor que 1. En cada vértice trazamos una circunferencia de radio $r=1$. Consideremos el cuadrado inscrito que se forma con los puntos de intersección de las circunferencias con los lados del cuadrado como se muestra en la Figura 1.

Figura 1



Ahora, repetimos el proceso anterior para el nuevo cuadrado, es decir, en cada vértice (del cuadrado nuevo) trazamos una circunferencia de radio $r=1$ y consideremos el cuadrado inscrito que se forma con los puntos de intersección de las circunferencias con los lados del cuadrado, ver Figura 2.

Figura 2


Si repetimos el proceso indefinidamente, podemos construir una figura como la siguiente:

Figura 3


Como podemos apreciar en la Figura 3, al parecer, los cuadrados en el interior del cuadrado $ABCD$ convergen a un cuadrado cuyo lado es de longitud 1. ¿Cómo podemos verificar esto?

Applet de GeoGebra con cuadros interactivos:



Construcción de una sucesión

Consideremos el triángulo rectángulo $A_1BC_1$ como se puede apreciar en la Figura 4. Sabemos que el lado del cuadrado $ABCD$ es $L>1$, por lo tanto tenemos que $A_1B=L-1$ y $BC_1=1$. Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos $$A_1C_1 = \sqrt{(L - 1)^2 + 1}$$

Figura 4

Consideremos ahora el siguiente triángulo rectángulo $A_2C_1C_2$ (Figura 5), del cual obtenemos la siguiente expresión $$A_2C_2 = \sqrt{\left(\sqrt{(L - 1)^2 + 1} - 1\right)^2+ 1}$$

Figura 5

Si continuamos con este mismo proceso, obtenemos una sucesión de números reales
$$\left\{x_1, x_2, x_3, \ldots \right\}$$
donde cada elemento representa la longitud del lado de cada cuadrado inscrito. En este caso podemos preguntarnos: ¿Converge esta sucesión? Si converge, ¿cuál es el valor del límite?

Para responder a estas preguntas primero definamos la sucesión de la siguiente manera:
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& L\\
x_2 &=&\sqrt{(L - 1)^2 + 1}\\
x_3 &=&\sqrt{\left(\sqrt{(L - 1)^2 + 1}-1\right)^2+ 1}\\
x_4 &=&\sqrt{\left(\sqrt{\left(\sqrt{(L-1)^2 + 1}-1\right)^2+ 1}-1\right)^2+1}\\
& \vdots &
\end{eqnarray*}

Lo cual se puede re-escribir de la siguiente forma:
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& L\\
x_2 &=&\sqrt{(x_1 - 1)^2 + 1}\\
x_3 &=&\sqrt{\left(x_2 - 1\right)^2+ 1}\\
x_4 &=&\sqrt{\left(x_3 - 1\right)^2+ 1}\\
x_5 &=&\sqrt{\left(x_4 - 1\right)^2+ 1}\\
& \vdots &
\end{eqnarray*}

De manera simplificada podemos escribir $L_n=\left\{x_n: n\in \mathbb N\right\}$ donde $x_n = \sqrt{\left(x_{n-1} - 1\right)^2+ 1}$.

Afirmación. $x_n > 1$ para toda $n\in \mathbb N$.

Demostración. Como $L > 1$, tenemos que $x_1 > 1$.
Demostremos ahora que $x_2 > 1$. Dado que $x_1 > 1$, se sigue que
\begin{eqnarray*}
(x_1 - 1)^2 &>& 0\\
(x_1 - 1)^2 + 1 &>& 1\\
\sqrt{(x_1 - 1)^2 + 1 }&>& 1\\
x_2 &>& 1
\end{eqnarray*}
Supongamos ahora que se cumple $x_{n-1} > 1$. Entonces, haciendo cálculos parecidos a los anteriores se ve fácilmente que $x_n > 1$ para toda $n \in \mathbb N$.

Afirmacion. $x_{n-1} > x_n$ para toda $n \in \mathbb N$.

Demostración. Primero demostremos que  $x_1 > x_2$. Sabemos que $x_1 = L > 1$, entonces se tiene
\begin{eqnarray*}
(L - 1)^2 >0
\end{eqnarray*}
y  por propiedades de números reales obtenemos
\begin{eqnarray*}
(L-1)^2+2(L-1)&>& (L-1)^2\\
L^2-2L+1+2L-2&>&(L-1)^2\\
L^2-1&>&(L-1)^2
\end{eqnarray*}
de aquí
$$L>\sqrt{(L-1)^2+1}$$
y por lo tanto $x_1 > x_2$.
Supongamos ahora que $x_1 > x_2 >\ldots>x_{n-1}$ se cumple. Faltaría probar que $x_{n-1}>x_n$. Para esto, consideremos lo siguiente
\begin{eqnarray*}
x_{n-1}>1
\end{eqnarray*}
entonces
\begin{eqnarray*}
(x_{n-1}-1)^2>0
\end{eqnarray*}
y así
\begin{eqnarray*}
(x_{n-1}-1)^2+2(x_{n-1}-1)> (x_{n-1}-1)^2 ,
\end{eqnarray*}
simplificando
\begin{eqnarray*}x^2_{n-1}-2x_{n-1}+1+2x_{n-1}-2 &>& (x_{n-1}-1)^2\\
x^2_{n-1}-1&>& (x_{n-1}-1)^2\\
x_{n-1}&>& \sqrt{(x_{n-1}-1)^2+1}
\end{eqnarray*}
Dado que $x_n = \sqrt{(x_{n-1}-1)^2+1}$, podemos concluir que $x_{n-1}>x_n$ para toda $n \in \mathbb N$.

Un resultado que podemos utilizar aquí es el siguiente:

Teorema Si $\left\{a_n\right\}$ es una sucesión de números reales decreciente y está acotada inferiormente por un número real $M$, entonces converge y
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n= M
\end{eqnarray*}

Como $L_n$ es una sucesión tal que:
$$x_n > 1\;\;\;\; \mbox{y}\;\;\;\;x_{n-1} > x_n$$
para toda $n \in \mathbb N$. Entonces podemos concluir que $L_n$ converge y además
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} L_n= 1
\]


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Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

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