Convergencia de Cuadrados

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $L$ mayor que 1. En cada vértice trazamos una circunferencia de radio $r=1$. Consideremos el cuadrado inscrito que se forma con los puntos de intersección de las circunferencias con los lados del cuadrado como se muestra en la Figura 1.

Figura 1



Ahora, repetimos el proceso anterior para el nuevo cuadrado, es decir, en cada vértice (del cuadrado nuevo) trazamos una circunferencia de radio $r=1$ y consideremos el cuadrado inscrito que se forma con los puntos de intersección de las circunferencias con los lados del cuadrado, ver Figura 2.

Figura 2


Si repetimos el proceso indefinidamente, podemos construir una figura como la siguiente:

Figura 3


Como podemos apreciar en la Figura 3, al parecer, los cuadrados en el interior del cuadrado $ABCD$ convergen a un cuadrado cuyo lado es de longitud 1. ¿Cómo podemos verificar esto?

Applet de GeoGebra con cuadros interactivos:



Construcción de una sucesión

Consideremos el triángulo rectángulo $A_1BC_1$ como se puede apreciar en la Figura 4. Sabemos que el lado del cuadrado $ABCD$ es $L>1$, por lo tanto tenemos que $A_1B=L-1$ y $BC_1=1$. Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos $$A_1C_1 = \sqrt{(L - 1)^2 + 1}$$

Figura 4

Consideremos ahora el siguiente triángulo rectángulo $A_2C_1C_2$ (Figura 5), del cual obtenemos la siguiente expresión $$A_2C_2 = \sqrt{\left(\sqrt{(L - 1)^2 + 1} - 1\right)^2+ 1}$$

Figura 5

Si continuamos con este mismo proceso, obtenemos una sucesión de números reales
$$\left\{x_1, x_2, x_3, \ldots \right\}$$
donde cada elemento representa la longitud del lado de cada cuadrado inscrito. En este caso podemos preguntarnos: ¿Converge esta sucesión? Si converge, ¿cuál es el valor del límite?

Para responder a estas preguntas primero definamos la sucesión de la siguiente manera:
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& L\\
x_2 &=&\sqrt{(L - 1)^2 + 1}\\
x_3 &=&\sqrt{\left(\sqrt{(L - 1)^2 + 1}-1\right)^2+ 1}\\
x_4 &=&\sqrt{\left(\sqrt{\left(\sqrt{(L-1)^2 + 1}-1\right)^2+ 1}-1\right)^2+1}\\
& \vdots &
\end{eqnarray*}

Lo cual se puede re-escribir de la siguiente forma:
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& L\\
x_2 &=&\sqrt{(x_1 - 1)^2 + 1}\\
x_3 &=&\sqrt{\left(x_2 - 1\right)^2+ 1}\\
x_4 &=&\sqrt{\left(x_3 - 1\right)^2+ 1}\\
x_5 &=&\sqrt{\left(x_4 - 1\right)^2+ 1}\\
& \vdots &
\end{eqnarray*}

De manera simplificada podemos escribir $L_n=\left\{x_n: n\in \mathbb N\right\}$ donde $x_n = \sqrt{\left(x_{n-1} - 1\right)^2+ 1}$.

Afirmación. $x_n > 1$ para toda $n\in \mathbb N$.

Demostración. Como $L > 1$, tenemos que $x_1 > 1$.
Demostremos ahora que $x_2 > 1$. Dado que $x_1 > 1$, se sigue que
\begin{eqnarray*}
(x_1 - 1)^2 &>& 0\\
(x_1 - 1)^2 + 1 &>& 1\\
\sqrt{(x_1 - 1)^2 + 1 }&>& 1\\
x_2 &>& 1
\end{eqnarray*}
Supongamos ahora que se cumple $x_{n-1} > 1$. Entonces, haciendo cálculos parecidos a los anteriores se ve fácilmente que $x_n > 1$ para toda $n \in \mathbb N$.

Afirmacion. $x_{n-1} > x_n$ para toda $n \in \mathbb N$.

Demostración. Primero demostremos que  $x_1 > x_2$. Sabemos que $x_1 = L > 1$, entonces se tiene
\begin{eqnarray*}
(L - 1)^2 >0
\end{eqnarray*}
y  por propiedades de números reales obtenemos
\begin{eqnarray*}
(L-1)^2+2(L-1)&>& (L-1)^2\\
L^2-2L+1+2L-2&>&(L-1)^2\\
L^2-1&>&(L-1)^2
\end{eqnarray*}
de aquí
$$L>\sqrt{(L-1)^2+1}$$
y por lo tanto $x_1 > x_2$.
Supongamos ahora que $x_1 > x_2 >\ldots>x_{n-1}$ se cumple. Faltaría probar que $x_{n-1}>x_n$. Para esto, consideremos lo siguiente
\begin{eqnarray*}
x_{n-1}>1
\end{eqnarray*}
entonces
\begin{eqnarray*}
(x_{n-1}-1)^2>0
\end{eqnarray*}
y así
\begin{eqnarray*}
(x_{n-1}-1)^2+2(x_{n-1}-1)> (x_{n-1}-1)^2 ,
\end{eqnarray*}
simplificando
\begin{eqnarray*}x^2_{n-1}-2x_{n-1}+1+2x_{n-1}-2 &>& (x_{n-1}-1)^2\\
x^2_{n-1}-1&>& (x_{n-1}-1)^2\\
x_{n-1}&>& \sqrt{(x_{n-1}-1)^2+1}
\end{eqnarray*}
Dado que $x_n = \sqrt{(x_{n-1}-1)^2+1}$, podemos concluir que $x_{n-1}>x_n$ para toda $n \in \mathbb N$.

Un resultado que podemos utilizar aquí es el siguiente:

Teorema Si $\left\{a_n\right\}$ es una sucesión de números reales decreciente y está acotada inferiormente por un número real $M$, entonces converge y
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n= M
\end{eqnarray*}

Como $L_n$ es una sucesión tal que:
$$x_n > 1\;\;\;\; \mbox{y}\;\;\;\;x_{n-1} > x_n$$
para toda $n \in \mathbb N$. Entonces podemos concluir que $L_n$ converge y además
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} L_n= 1
\]


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