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Acerca del Cálculo


El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6].

En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar procesos infinitos. Por esto último, el Cálculo y sus derivaciones pronto encontraron múltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los ámbitos científicos, empezando por la física y las ciencias naturales, hasta llegar a las ciencias sociales.


Cuadraturas (cálculo de áreas) y Trazo de tangentes


Breve reseña histórica del Cálculo:

A grandes rasgos, podemos decir que el Cálculo inició desde épocas antiguas con los griegos quienes abordaron diferentes problemas matemáticos. En particular, estaban interesados por resolver dos problemas clásicos: uno era el cálculo de áreas y el otro era el trazo de tangentes. Diversos fueron los personajes helénicos que hicieron grandes contribuciones al respecto, entre ellos, el más famoso fue Arquímedes (287 a. C. –  212 a. C) de Ciracusa, cuya obra no sólo es considerada como la culminación de las contribuciones de los griegos, además sigue siendo objeto de admiración y estudio en la actualidad.

Fue hasta la primera mitad del siglo XVII, en que se renovó el interés por esos problemas y varios matemáticos de distintas partes de Europa como Bonaventura Cavalieri (1598-1647), John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para la obra de Leibniz y Newton.




En el siglo XVIII, denominado El siglo del Análisis Matemático, se dio la consolidación del Cálculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica. Con ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento de nuevas ramas de las matemáticas, tales como: la Teoría de Ecuaciones Diferenciales, ordinarias y parciales, el Cálculo de Variaciones, la Teoría de Series y la Geometría Diferencial. Las aplicaciones del análisis incluyen ahora la Teoría de Vibraciones, la Dinámica de Partículas, la Teoría de Cuerpos Rígidos, la Mecánica de Cuerpos Elásticos y Deformables y la Mecánica de Fluidos. A partir de entonces, se distinguen las matemáticas puras de las matemáticas aplicadas.

Al finalizar el siglo XVIII, algunos matemáticos habían detectado diversas limitaciones e incongruencias en las bases sobre las que se había desarrollado hasta entonces el Cálculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor, de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases más amplias de funciones, como por ejemplo,  funciones representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para series de funciones.

Fue hasta el siglo XIX, con la construcción del sistema de números reales, del concepto general de función real y del concepto de límite de una función; cuando se establecieron de manera rigurosa las bases fundamentales sobre las cuales descansa actualmente el Cálculo. Algunos de los personales notables que hicieron grandes contribuciones al respecto fueron Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard F. Riemann (1826-1866), Karl Weierstrass (1815-1897), Richard Dedekind (1831-1916), entre otros [1, 3].


Integral de Riemann

Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra tres nuevos avances en el desarrollo del análisis: la integral de Lebesgue, debida al francés Henri Lebesgue (1875-1941), el Análisis no-Estándar, debido básicamente a Abraham Robinson (1918-1974) y la integral de Riemann generalizada, debida a los matemáticos Ralph Henstock (1923) y Jaroslav Kurzweil (para mayores informes al respecto consultar [2]).

Con base en la anterior reseña histórica, podemos concluir que:   

La mayoría de los conceptos del Cálculo han requerido de un largo proceso evolutivo de varios siglos.

Es por esta razón que no podemos esperar que los estudiantes logren comprenderlos de manera inmediata en un corto periodo de tiempo, como son por lo general los cursos de Cálculo. Pero sí podemos desarrollar paulatinamente en los estudiantes la madurez necesaria para alcanzar ese objetivo.

Es cierto que los grandes nombres en la creación del cálculo son, naturalmente, Isaac Newton y Leibniz. Sin embargo, Descartes, Fermat, Cavalieri, Pascal, Roverbal, Barrow y al menos una docena más de conocidos matemáticos realizaron contribuciones significativas antes que ellos. Sin embargo, ni Newton ni Leibniz pudieron formular correctamente los conceptos básicos del Cálculo.

Es un hecho significativo que los fundamentos lógicos del sistema numérico, el álgebra y el análisis no fuesen desarrollados hasta finales del siglo XIX. En otras palabras, durante los siglos en los que se edificaron las ramas más importantes de las matemáticas, como el Cálculo, no había un desarrollo lógico para la mayor parte de ellas. Al parecer, la intuición de los grandes hombres impera más que su lógica.

¿Qué podemos deducir de la historia del Cálculo? Morris Kline [5, p. 47] responde:

Parece claro que primeramente se aceptaron y utilizaron los conceptos que tenían mayor significado intuitivo: todos los números, las fracciones y los conceptos geométricos. Los menos intuitivos, los números irracionales, los números negativos, los números complejos, el uso de letras como coeficientes generales y los conceptos del cálculo, necesitaron de muchos siglos para su creación o para su aceptación. Además, cuando fueron aceptados no fue la lógica la que indujo a ello a los matemáticos, sino los argumentos por analogía, el significado físico de algunos conceptos y la obtención de resultados científicos correctos. En otras palabras, fue la evidencia intuitiva lo que indujo a los matemáticos a aceptarlos. La lógica siempre ha venido mucho después de la invención, y, evidentemente, ha sido más difícil de alcanzar. Así pues, la historia de la matemática sugiere, aunque no lo pruebe, que es más difícil el planteamiento lógico.

Por lo tanto, dentro de un ambiente donde se promueva la intuición los estudiantes podrían desarrollar habilidades para comprender con profundidad conceptos del Cálculo. Por esto último, es importante que nosotros como profesores, tengamos al menos un conocimiento básico de la historia de las matemáticas, de la materia o materias que impartimos, para lograr que los estudiantes no solo estén enterados de hechos históricos sino también para desarrollar la intuición y finalmente lograr una mejor comprensión de los conceptos.


Referencias
[1]
Boyer, C. B. (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications, Inc. New York.
[2]
Burk, F. E. (2007). A Garden of Integrals. The American Mathematical Association. USA.  
[3]
Edwards, C. H. (1979). The Historical Development of the Calculus. New York Springer-Verlag.        
[4]
Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York. Oxford University Press
[5]
Kline, M. (1999). Fracaso de la matemática moderna: ¿por qué Juanito no sabe sumar? 19a. ed. (1a. Ed. 1976 ). México: Siglo XXI.
[6]
Whiteside, D. T. (1960). Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century, Archive for History of Exact Sciences 1, 179-388.

           


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Distancia, velocidad y aceleración

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El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Demostración de Euclides de la Proposición 11, Libro I

Proposición 11, Libro I:
Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta dada, desde un punto dado en ella.
Antes de proceder con la demostración de Euclides, mencionaré algunos de los resultados previos que él utiliza:
Definición 10: Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.
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Proposición 3 (Libro I): Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
Proposición 8, (Libro I): Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.
Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostración.
Demostración de la Proposición 11, Libro I:
Sea AB la recta dada y sea C un p…