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Algunas funciones trigonométricas

Básicamente, las funciones trigonométricas provienen del concepto de razón trigonométrica.


Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo dado $\theta$ se considera un triángulo rectángulo definido en una circunferencia de radio 1, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1: Círculo de radio 1.

De acuerdo con la Figura 1.El seno del ángulo $\theta$ es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de su hipotenusa. Esto se puede escribir como una razón:
$$\sin \theta =\frac{CO}{H} =\frac{BC}{AB}$$

El coseno del ángulo $\theta$  es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de su hipotenusa. Esto se puede escribir como una razón:
$$\cos \theta =\frac{CA}{H} =\frac{AC}{AB}$$

La tangente del ángulo $\theta$  es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. Esto se puede escribir como una razón:
$$\tan \theta =\frac{CO}{CA} =\frac{BC}{AC}$$

En los anteriores casos, dado que el radio de la circunferencia es 1, entonces tenemos que

$\sin \theta =BC$, $\cos \theta =AC$ y $\tan \theta =FE$

Figura 2. Gráfica de la función seno definida para valores positivos.

Figura 3. Gráfica de la función coseno definida para valores positivos.

Figura 3. Gráfica de la función tangente definida para valores positivos.

Nota: Es importante enfatizar que los ángulos, en este caso, se consideran en radianes. Si se consideran en grados, entonces las curvas de las funciones trigonométricas son un poco diferentes.

En el siguiente applet de GeoGebra se puede apreciar la relación entre las razones de los segmentos del triángulo rectángulo y las curvas de las funciones trigonométricas. 


Applet GeoGebra para las funciones $\sin x$, $\cos x$ y $\tan x$: Aquí


Figura 4. Gráfica de la función cosecante definida para valores positivos.
 
Figura 5. Gráfica de la función secante definida para valores positivos.


Figura 6. Gráfica de la función cotangente definida para valores positivos.

Applet GeoGebra para todas las funciones trigonométricas (incluye $\csc x$, $\sec x$ y $\cot x$): Aquí

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El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
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Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…