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Problema de Modelación: Torre de teléfonos

Se planea construir una torre de una compañía celular en la parte oeste de una montaña como se muestra en la figura:


¿Qué tan alto se debe poner la torre de tal manera que pueda dar señal a la parte este, después del lago?

1. ¿Qué información es necesaria para resolver el problema? ¿Qué información no es importante saber?

2. Piensa geométricamente o algebraicamente, ¿cómo podrías matematizar el problema?

3. Usa la siguiente información para dibujar un modelo más preciso:

-          La torre tiene una altura de 60 metros.
-          La montaña tiene una altura de 243 metros y tiene una base de 853 metros desde el este hasta el oeste.
-          La montaña es simétrica.
-          El lago inicia en la base de la montaña (este) y tienen un ancho de 182 metros.

4. Primero predice o estima el punto donde se debe poner la torre sobre la montaña de tal manera que dé señal a la parte este, después del lago. Ahora, determina el punto exacto. Explica y escribe tu respuesta.

5. ¿Qué tan cercana fue tu predicción? ¿Es tu solución razonable? Explica tu respuesta.

6. ¿Qué sucede si cambias los datos?


Nota: Mueve el punto P. Puedes cambiar los valores de la altura del monte, el ancho, la altura de la torre y el ancho del lago. Ver Applet de GeoGebra: Torre en montaña

Fuente: Problema adaptado de la NCTM: Illuminations

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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…