Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$

Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.

Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$

1.1 Curva $\pi$:

En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario definir propiamente a las funciones $u (t)$ y $v (t)$.

Curva pi = $\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$

Donde, por una parte la función $u (t)$ se define de la siguiente manera:

$u \left(t\right)=\frac{70}{37} \mbox{sen}\left(\frac{65}{32} - 32t\right) + \frac{11}{12} \mbox{sen}\left(\frac{98}{41} - 31t\right) + \frac{26}{29} \mbox{sen}\left(\frac{35}{12} - 30t\right) + \frac{54}{41} \mbox{sen}\left(\frac{18}{7} - 29t\right) + \frac{177}{71} \mbox{sen}\left(\frac{51}{19} - 27t\right) + \frac{59}{34} \mbox{sen}\left(\frac{125}{33}- 26t\right) + \frac{49}{29} \mbox{sen}\left(\frac{18}{11} - 25t\right) + \frac{151}{75} \mbox{sen}\left(\frac{59}{22} - 24t\right) + \frac{52}{9} \mbox{sen}\left(\frac{118}{45} - 22t\right) + \frac{52}{33} \mbox{sen}\left(\frac{133}{52} - 21t\right) + \frac{37}{45} \mbox{sen}\left(\frac{61}{14} - 20t\right) + \frac{143}{46} \mbox{sen}\left(\frac{144}{41} - 19t\right) + \frac{254}{47} \mbox{sen}\left(\frac{19}{52} - 18t\right) + \frac{246}{35} \mbox{sen}\left(\frac{92}{25} - 17t\right) + \frac{722}{111} \mbox{sen}\left(\frac{176}{67} - 16t\right) + \frac{136}{23} \mbox{sen}\left(\frac{3}{19} - 15t\right) + \frac{273}{25} \mbox{sen}\left(\frac{32}{21} - 13t\right) + \frac{229}{33} \mbox{sen}\left(\frac{117}{28} - 12t\right) + \frac{19}{4} \mbox{sen}\left(\frac{43}{11} - 11t\right) + \frac{135}{8} \mbox{sen}\left(\frac{23}{10} - 10t\right) + \frac{205}{6} \mbox{sen}\left(\frac{33}{23} - 8t\right) + \frac{679}{45} \mbox{sen}\left(\frac{55}{12} - 7t\right) + \frac{101}{8} \mbox{sen}\left(\frac{11}{12} - 6t\right) + \frac{2760}{59} \mbox{sen}\left(\frac{40}{11} - 5t\right) + \frac{1207}{18} \mbox{sen}\left(\frac{21}{23} - 4t\right) + \frac{8566}{27} \mbox{sen}\left(\frac{39}{28} - 3t\right) + \frac{12334}{29} \mbox{sen}\left(\frac{47}{37} - 2t\right) + \frac{15410}{39} \mbox{sen}\left(\frac{185}{41} - t\right) - \frac{596}{17} \mbox{sen}\left(9t + \frac{3}{26}\right) - \frac{247}{28} \mbox{sen}\left(14t + \frac{25}{21}\right) - \frac{458}{131} \mbox{sen}\left(23t + \frac{21}{37}\right) - \frac{41}{36} \mbox{sen}\left(28t + \frac{7}{8}\right)$

 Y por otra parte, la función $v (t)$ se define de la siguiente manera:

$u \left(t\right)=\frac{70}{37} \mbox{sen}\left(\frac{65}{32} - 32t\right) + \frac{11}{12} \mbox{sen}\left(\frac{98}{41} - 31t\right) + \frac{26}{29} \mbox{sen}\left(\frac{35}{12}- 30t\right) + \frac{54}{41} \mbox{sen}\left(\frac{18}{7} - 29t\right) + \frac{177}{71} \mbox{sen}\left(\frac{51}{19} - 27t\right) + \frac{59}{34} \mbox{sen}\left(\frac{125}{33} - 26t\right) + \frac{49}{29} \mbox{sen}\left(\frac{18}{11} - 25t\right) + \frac{151}{75} \mbox{sen}\left(\frac{59}{22} - 24t\right) + \frac{52}{9} \mbox{sen}\left(\frac{118}{45} - 22t\right) + \frac{52}{33} \mbox{sen}\left(\frac{133}{52} - 21t\right) + \frac{37}{45} \mbox{sen}\left(\frac{61}{14} - 20t\right) + \frac{143}{46} \mbox{sen}\left(\frac{144}{41} - 19t\right) + \frac{254}{47} \mbox{sen}\left(\frac{19}{52} - 18t\right) + \frac{246}{35} \mbox{sen}\left(\frac{92}{25} - 17t\right) + \frac{722}{111} \mbox{sen}\left(\frac{176}{67} - 16t\right) + \frac{136}{23} \mbox{sen}\left(\frac{3}{19} - 15t\right) + \frac{273}{25} \mbox{sen}\left(\frac{32}{21} - 13t\right) + \frac{229}{33} \mbox{sen}\left(\frac{117}{28} - 12t\right) + \frac{19}{4} \mbox{sen}\left(\frac{43}{11} - 11t\right) + \frac{135}{8} \mbox{sen}\left(\frac{23}{10} - 10t\right) + \frac{205}{6} \mbox{sen}\left(\frac{33}{23} - 8t\right) + \frac{679}{45} \mbox{sen}\left(\frac{55}{12} - 7t\right) + \frac{101}{8} \mbox{sen}\left(\frac{11}{12} - 6t\right) + \frac{2760}{59} \mbox{sen}\left(\frac{40}{11} - 5t\right) + \frac{1207}{18} \mbox{sen}\left(\frac{21}{23} - 4t\right) + \frac{8566}{27} \mbox{sen}\left(\frac{39}{28} - 3t\right) + \frac{12334}{29} \mbox{sen}\left(\frac{47}{37} - 2t\right) + \frac{15410}{39} \mbox{sen}\left(\frac{185}{41} - t\right) - \frac{596}{17} \mbox{sen}\left(9t +\frac{ 3}{26}\right) - \frac{247}{28} \mbox{sen}\left(14t + \frac{25}{21}\right) -\frac{458}{131} \mbox{sen}\left(23t + \frac{21}{37}\right) - \frac{41}{36} \mbox{sen}\left(28t + \frac{7}{8}\right)$


1.2 Curva paramétrica que represeta a $\pi$:

Nota: Interactuar con el botón de animación y el deslizador ángulo. Para pausar la animación, dar clic en el botón de control que aparece en la esquina inferior izquierda. Ver como Applet html: Geogebra Applet.

1.3 Curva paramétrica que representa a  $\pi$ en 3D:
 

Nota: Mover el punto Vista3D y Escala. También se puede cambiar la posición del punto azul.Ver como applet html: Applet Geogebra

2.Espiral logarítmica y espiral en 3D

La espiral logarítmica es una curva muy especial cuya expresión se puede representar por medio de la fórmula: $\theta= \log_b(r/a).$

Esta curva se puede apreciar en la naturaleza en diversos contextos:

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto de Wikipedia

2.1 Espiral logarítmica:

Una parametrización de la espiral logarítmica es la siguiente: $$\begin{cases} x = ab^r\cos(t) \\ y = ab^t\sin(t) \end{cases}$$

En el siguiente Applet, el deslizador 'c' representa a la variable $t$.


Nota: Interactuar con el botón Animación y los parámetros 'a', 'b' y 'c'.  Para pausar la animación, dar clic en el botón de control que aparece en la esquina inferior izquierda. Ver como applet html: Geogebra Applet

2.2 Espiral en 3D


Nota: Puedes interactuar con el punto Vista3D, Escala, el parámetro 'a' y Espiral levantada. Ver como Applet html: Geogebra Applet

Applet realizado con base en el trabajo de Daniel Mentrard (Mathematiques) y Rafael Miranda  (Geometría 3D)

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