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Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$

Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.

Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$

1.1 Curva $\pi$:

En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario definir propiamente a las funciones $u (t)$ y $v (t)$.

Curva pi = $\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$

Donde, por una parte la función $u (t)$ se define de la siguiente manera:

$u \left(t\right)=\frac{70}{37} \mbox{sen}\left(\frac{65}{32} - 32t\right) + \frac{11}{12} \mbox{sen}\left(\frac{98}{41} - 31t\right) + \frac{26}{29} \mbox{sen}\left(\frac{35}{12} - 30t\right) + \frac{54}{41} \mbox{sen}\left(\frac{18}{7} - 29t\right) + \frac{177}{71} \mbox{sen}\left(\frac{51}{19} - 27t\right) + \frac{59}{34} \mbox{sen}\left(\frac{125}{33}- 26t\right) + \frac{49}{29} \mbox{sen}\left(\frac{18}{11} - 25t\right) + \frac{151}{75} \mbox{sen}\left(\frac{59}{22} - 24t\right) + \frac{52}{9} \mbox{sen}\left(\frac{118}{45} - 22t\right) + \frac{52}{33} \mbox{sen}\left(\frac{133}{52} - 21t\right) + \frac{37}{45} \mbox{sen}\left(\frac{61}{14} - 20t\right) + \frac{143}{46} \mbox{sen}\left(\frac{144}{41} - 19t\right) + \frac{254}{47} \mbox{sen}\left(\frac{19}{52} - 18t\right) + \frac{246}{35} \mbox{sen}\left(\frac{92}{25} - 17t\right) + \frac{722}{111} \mbox{sen}\left(\frac{176}{67} - 16t\right) + \frac{136}{23} \mbox{sen}\left(\frac{3}{19} - 15t\right) + \frac{273}{25} \mbox{sen}\left(\frac{32}{21} - 13t\right) + \frac{229}{33} \mbox{sen}\left(\frac{117}{28} - 12t\right) + \frac{19}{4} \mbox{sen}\left(\frac{43}{11} - 11t\right) + \frac{135}{8} \mbox{sen}\left(\frac{23}{10} - 10t\right) + \frac{205}{6} \mbox{sen}\left(\frac{33}{23} - 8t\right) + \frac{679}{45} \mbox{sen}\left(\frac{55}{12} - 7t\right) + \frac{101}{8} \mbox{sen}\left(\frac{11}{12} - 6t\right) + \frac{2760}{59} \mbox{sen}\left(\frac{40}{11} - 5t\right) + \frac{1207}{18} \mbox{sen}\left(\frac{21}{23} - 4t\right) + \frac{8566}{27} \mbox{sen}\left(\frac{39}{28} - 3t\right) + \frac{12334}{29} \mbox{sen}\left(\frac{47}{37} - 2t\right) + \frac{15410}{39} \mbox{sen}\left(\frac{185}{41} - t\right) - \frac{596}{17} \mbox{sen}\left(9t + \frac{3}{26}\right) - \frac{247}{28} \mbox{sen}\left(14t + \frac{25}{21}\right) - \frac{458}{131} \mbox{sen}\left(23t + \frac{21}{37}\right) - \frac{41}{36} \mbox{sen}\left(28t + \frac{7}{8}\right)$

 Y por otra parte, la función $v (t)$ se define de la siguiente manera:

$u \left(t\right)=\frac{70}{37} \mbox{sen}\left(\frac{65}{32} - 32t\right) + \frac{11}{12} \mbox{sen}\left(\frac{98}{41} - 31t\right) + \frac{26}{29} \mbox{sen}\left(\frac{35}{12}- 30t\right) + \frac{54}{41} \mbox{sen}\left(\frac{18}{7} - 29t\right) + \frac{177}{71} \mbox{sen}\left(\frac{51}{19} - 27t\right) + \frac{59}{34} \mbox{sen}\left(\frac{125}{33} - 26t\right) + \frac{49}{29} \mbox{sen}\left(\frac{18}{11} - 25t\right) + \frac{151}{75} \mbox{sen}\left(\frac{59}{22} - 24t\right) + \frac{52}{9} \mbox{sen}\left(\frac{118}{45} - 22t\right) + \frac{52}{33} \mbox{sen}\left(\frac{133}{52} - 21t\right) + \frac{37}{45} \mbox{sen}\left(\frac{61}{14} - 20t\right) + \frac{143}{46} \mbox{sen}\left(\frac{144}{41} - 19t\right) + \frac{254}{47} \mbox{sen}\left(\frac{19}{52} - 18t\right) + \frac{246}{35} \mbox{sen}\left(\frac{92}{25} - 17t\right) + \frac{722}{111} \mbox{sen}\left(\frac{176}{67} - 16t\right) + \frac{136}{23} \mbox{sen}\left(\frac{3}{19} - 15t\right) + \frac{273}{25} \mbox{sen}\left(\frac{32}{21} - 13t\right) + \frac{229}{33} \mbox{sen}\left(\frac{117}{28} - 12t\right) + \frac{19}{4} \mbox{sen}\left(\frac{43}{11} - 11t\right) + \frac{135}{8} \mbox{sen}\left(\frac{23}{10} - 10t\right) + \frac{205}{6} \mbox{sen}\left(\frac{33}{23} - 8t\right) + \frac{679}{45} \mbox{sen}\left(\frac{55}{12} - 7t\right) + \frac{101}{8} \mbox{sen}\left(\frac{11}{12} - 6t\right) + \frac{2760}{59} \mbox{sen}\left(\frac{40}{11} - 5t\right) + \frac{1207}{18} \mbox{sen}\left(\frac{21}{23} - 4t\right) + \frac{8566}{27} \mbox{sen}\left(\frac{39}{28} - 3t\right) + \frac{12334}{29} \mbox{sen}\left(\frac{47}{37} - 2t\right) + \frac{15410}{39} \mbox{sen}\left(\frac{185}{41} - t\right) - \frac{596}{17} \mbox{sen}\left(9t +\frac{ 3}{26}\right) - \frac{247}{28} \mbox{sen}\left(14t + \frac{25}{21}\right) -\frac{458}{131} \mbox{sen}\left(23t + \frac{21}{37}\right) - \frac{41}{36} \mbox{sen}\left(28t + \frac{7}{8}\right)$


1.2 Curva paramétrica que represeta a $\pi$:

Nota: Interactuar con el botón de animación y el deslizador ángulo. Para pausar la animación, dar clic en el botón de control que aparece en la esquina inferior izquierda. Ver como Applet html: Geogebra Applet.

1.3 Curva paramétrica que representa a  $\pi$ en 3D:
 

Nota: Mover el punto Vista3D y Escala. También se puede cambiar la posición del punto azul.Ver como applet html: Applet Geogebra

2.Espiral logarítmica y espiral en 3D

La espiral logarítmica es una curva muy especial cuya expresión se puede representar por medio de la fórmula: $\theta= \log_b(r/a).$

Esta curva se puede apreciar en la naturaleza en diversos contextos:

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano

Foto de Wikipedia

2.1 Espiral logarítmica:

Una parametrización de la espiral logarítmica es la siguiente: $$\begin{cases} x = ab^r\cos(t) \\ y = ab^t\sin(t) \end{cases}$$

En el siguiente Applet, el deslizador 'c' representa a la variable $t$.


Nota: Interactuar con el botón Animación y los parámetros 'a', 'b' y 'c'.  Para pausar la animación, dar clic en el botón de control que aparece en la esquina inferior izquierda. Ver como applet html: Geogebra Applet

2.2 Espiral en 3D


Nota: Puedes interactuar con el punto Vista3D, Escala, el parámetro 'a' y Espiral levantada. Ver como Applet html: Geogebra Applet

Applet realizado con base en el trabajo de Daniel Mentrard (Mathematiques) y Rafael Miranda  (Geometría 3D)

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Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis: