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Cilindro inscrito en cono, segunda parte


Cálculo del volumen de un cilindro inscrito en un cono

Se inscribe un cilindro en un cono recto de altura $h=5$ y radio de la base $r=1$. ¿Cuál es el máximo volumen que puede tener ese cilindro?

Si el cilindro tiene altura $h'$ y radio $r_2$, entonces el volumen del cilindro está dado por la fórmula:
$$V(h',r_2)=\pi h' r_2.$$

Como se puede apreciar, esta expresión depende de dos variables $(h',r_2)$. Es posible establecer una relación entre alguna de estas variables y la variación del volumen del cilindro.

En el siguiente applet, realizado con Geogebra, se puede apreciar dicha relación. En este caso se estableció la relación entre el radio $r_2$ y el volumen del cilindro:

Intrucciones: Activar los cuadros de Cilindro y Representación gráfica para mostrar objetos. La relación establecida es entre el radio y el volumen del cilindro. Por lo tanto, se debe variar el Radio del cilindro.

Nota: Para quitar la traza se debe actualizar la página. Ver como applet html: Applet Geogebra

Preguntas: 

1. ¿Cuál es la relación que permite establecer el volumen del cilindro en términos de una sola variable?

2. ¿Cuál es la expresión algebraica (o función) que representa la curva que se muestra en la representación gráfica del applet?

3. ¿Cuál es el máximo volumen que puede tener el cilindro?

4. Existe otra manera de establecer la relación entre la altura y el volumen del cilindro. ¿Cuál es la expresión algebraica (o función) que representa dicha relación?

5. ¿Qué sucede cuando se modifican la altura y el radio del cono?

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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…