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Showing posts from April, 2013

Problema de Modelación: Torre de teléfonos

Se planea construir una torre de una compañía celular en la parte oeste de una montaña como se muestra en la figura:


¿Qué tan alto se debe poner la torre de tal manera que pueda dar señal a la parte este, después del lago?
1. ¿Qué información es necesaria para resolver el problema? ¿Qué información no es importante saber?
2. Piensa geométricamente o algebraicamente, ¿cómo podrías matematizar el problema?
3. Usa la siguiente información para dibujar un modelo más preciso:
-La torre tiene una altura de 60 metros. -La montaña tiene una altura de 243 metros y tiene una base de 853 metros desde el este hasta el oeste. -La montaña es simétrica. -El lago inicia en la base de la montaña (este) y tienen un ancho de 182 metros.
4. Primero predice o estima el punto donde se debe poner la torre sobre la montaña de tal manera que dé señal a la parte este, después del lago. Ahora, determina el punto exacto. Explica y escribe tu respuesta.
5. ¿Qué tan cercana fue tu predicción? ¿Es tu solución razonable?…

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…

Applets de Geogebra para descargar

En el siguiente link pueden encontrar y descargar los applets realizados en Geogebra que he presentado en clase. 
Todos son de acceso libre y se puede ver desde la página principal o se pueden descargar para observar la construcción. 
Enlace: Applets de Geogebra
Asimismo, pueden encontrar construcciones realizadas por muchos otros autores. Lo ideal es que logren realizar sus propias actividades. 
Dudas acerca de las construcciones que se encuentran en la base de datos, las podemos aclarar en clase o en mi oficina.

Demostración de Euclides de la Proposición 11, Libro I

Proposición 11, Libro I:
Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta dada, desde un punto dado en ella.
Antes de proceder con la demostración de Euclides, mencionaré algunos de los resultados previos que él utiliza:
Definición 10: Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.
Proposición 1 (Libro I):Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
Proposición 3 (Libro I): Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
Proposición 8, (Libro I): Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.
Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostración.
Demostración de la Proposición 11, Libro I:
Sea AB la recta dada y sea C un p…

Cilindro inscrito en cono, segunda parte

Cálculo del volumen de un cilindro inscrito en un cono
Se inscribe un cilindro en un cono recto de altura $h=5$ y radio de la base $r=1$. ¿Cuál es el máximo volumen que puede tener ese cilindro?

Si el cilindro tiene altura $h'$ y radio $r_2$, entonces el volumen del cilindro está dado por la fórmula:
$$V(h',r_2)=\pi h' r_2.$$

Como se puede apreciar, esta expresión depende de dos variables $(h',r_2)$. Es posible establecer una relación entre alguna de estas variables y la variación del volumen del cilindro.

En el siguiente applet, realizado con Geogebra, se puede apreciar dicha relación. En este caso se estableció la relación entre el radio $r_2$y el volumen del cilindro:

Intrucciones: Activar los cuadros de Cilindro y Representación gráfica para mostrar objetos. La relación establecida es entre el radio y el volumen del cilindro. Por lo tanto, se debe variar el Radio del cilindro.

Nota: Para quitar la traza se debe actualizar la página. Ver como applet html: Applet Geogeb…

Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El cubo: uno de los sólidos platónicos

Un cubo, o hexaedro regular, es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes. También se puede clasificar como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos. 

El cubo forma parte de los sólidos platónicos, los cuales son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. En total hay 5 sólidos platónicos, estos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.
En 1750 Leonhard Euler publicó su Teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de Caras (C), Aristas (A) y Vértices (V) de un poliedro convexo (sin orificios, ni entrantes) cualquiera:
V-A+C=2
Euler también demostró que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares, aunque esto ya se había demostrado en…