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Problema de optimización: Triángulos formados con rectas que pasan por un punto fijo


Una recta variable que pasa por el punto D=(1,2) corta al eje x en el punto A=(a,0) y al eje y en el punto B=(0,b). Hallar el área mínima de los triángulos AOB con la condición de que a>1 y b>2.

El siguiente applet, realizado con Geogebra, permite dar una idea intuitiva del problema.

Instrucciónes: Para observar el comportamiento de los diferentes triángulos que se forman, así como la variación de las áreas, se puede interactuar con el deslizador: 'Mover'.


Notas: i) Para activar/desactivar la animación autómatica, dar clic en el botón de la esquina inferior izquierda. ii) Para quitar el rastro se debe actualizar la página. Ver como applet html: Applet Geogebra

Para resolver el problema es preciso encontrar una función f que relacione las diferentes áreas de los triángulos con alguna variable. ¿Cuáles son las variables? 

¿Cuál es la función que representa a la curva que se muestra en el applet?

Para responder esta última pregunta, inicialmente se debe considerar el hecho de que la recta pasa por los puntos A=(a,0), B(b,0) y D=(1,2) ¿Cuál es la pendiente de la recta si consideras los puntos D y A? ¿Cuál es la pendiente de la recta si consideras los puntos D y B? ¿Qué relación tiene esta condición con la solución del problema?





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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…