Problema de optimización: Triángulos formados con rectas que pasan por un punto fijo


Una recta variable que pasa por el punto D=(1,2) corta al eje x en el punto A=(a,0) y al eje y en el punto B=(0,b). Hallar el área mínima de los triángulos AOB con la condición de que a>1 y b>2.

El siguiente applet, realizado con Geogebra, permite dar una idea intuitiva del problema.

Instrucciónes: Para observar el comportamiento de los diferentes triángulos que se forman, así como la variación de las áreas, se puede interactuar con el deslizador: 'Mover'.


Notas: i) Para activar/desactivar la animación autómatica, dar clic en el botón de la esquina inferior izquierda. ii) Para quitar el rastro se debe actualizar la página. Ver como applet html: Applet Geogebra

Para resolver el problema es preciso encontrar una función f que relacione las diferentes áreas de los triángulos con alguna variable. ¿Cuáles son las variables? 

¿Cuál es la función que representa a la curva que se muestra en el applet?

Para responder esta última pregunta, inicialmente se debe considerar el hecho de que la recta pasa por los puntos A=(a,0), B(b,0) y D=(1,2) ¿Cuál es la pendiente de la recta si consideras los puntos D y A? ¿Cuál es la pendiente de la recta si consideras los puntos D y B? ¿Qué relación tiene esta condición con la solución del problema?





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