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Problema de la Caja

Un problema clásico de optimización es el famoso problema de la caja construida a partir de una lámina rectángular o cuadrada. Una de sus tantas versiones es la siguiente:


Se necesitan construir cajas de cartón sin tapa de diferentes capacidades. Para su construcción se utilizan láminas que tienen la forma de un cuadrado de lado 10 cm.
Si de cada esquina se le cortan cuadrados de x cm de lado:
a)      ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?
b)      Obtener una función V(x) que relacione a la caja con su volumen.
c)      Obtener el dominio de V(x).
d)     Realizar un bosquejo de su gráfica.
e)      ¿Para qué valor de la variable x se obtiene un volumen máximo (o mínimo en su caso)?


No es difícil observar que las dimensiones de la caja son Largo: 10-2x, Ancho: 10-2x y Alto: x. 

De esta manera, la función que relaciona a la caja con su volumen es
V(x)= x(10-2x)(10-2x).
V(x) no está definida para x= 0 ni x=5 porque no tiene sentido para estos casos. De hecho, el dominio de V(x) es el intervalo abierto (0,5).

El siguiente applet, realizado con Geogebra, permite dar una idea intuitiva de la relación entre el volumen de la caja y la variable x, cuando esta última varía.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.5 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
(Para borrar la curva, actualiza la página)

Con la ayuda del applet, se puede observar que se obtiene un volumen máximo (aprox.) de 74.05 centímetros cúbicos cuando x se aproxima al valor de 1.7.

La solución general se obtiene calculando la derivada de la función V(x). Esto es
V'(x)=12x2-80x+100.

Esta función se iguala a cero para encontrar los puntos críticos. Es decir
V'(x)=12x2-80x+100=0.
Los valores donde la derivada V'(xse hace cero son x1=5 y x2=5/3. El valor de x1=5 se descarta, por como está definido el dominio de V(x).

Para verificar que  es un máximo, se calcula la segunda derivada de V(x). Esto es
V''(x)=24x-80
Ahora, se sustituye el valor de x2=5/3 en V''(x). De lo cual se obtiene que
V''(5/3)=24(5/3)-80 =-40
Este último valor es negativo. Por lo tanto, cuando x es igual a 5/3 (ó 1.666... aprox.) el volumen de la caja alcanza un valor máximo. Al sustituir 5/3 en V(x), obtenemos 74.07 (aprox).




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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…